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幾何学百科IV 幾何学と物理

大槻 知忠満渕 俊樹亀谷 幸生(著)

大槻 知忠満渕 俊樹亀谷 幸生(著)

定価 8,030 円(本体 7,300 円+税)

A5判/392ページ
刊行日:2023年12月01日
ISBN:978-4-254-11619-9 C3341

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内容紹介

幾何学と物理の遭遇は双方向的に影響を与えつつ20世紀後半にいろいろな方向に展開した。1980年代以降に注目が集まり目覚ましい進展を続ける,現代幾何学と現代物理学が創設した新しい分野を3つ取り上げ,やや独立した3つの章として第一人者が紹介。〔内容〕量子不変量/複素微分幾何/ゲージ理論・モノポール方程式とトポロジー

編集部から

目次

1. 量子不変量(大槻知忠)
 1.1 絡み目の量子不変量
  1.1.1 絡み目の図式とカウフマン括弧
  1.1.2 組みひも群とその表現
  1.1.3 量子群
  1.1.4 KZ 方程式
 1.2 手術表示にもとづいた3 次元多様体の不変量の構成
  1.2.1 手術表示とカービー移動
  1.2.2 線型スケインによる3 次元多様体の不変量の構成
  1.2.3 3 次元多様体の量子不変量
 1.3 ヒーゴール分解にもとづいた3 次元多様体の不変量の構成
  1.3.1 ヒーゴール分解とライデマイスター-シンガーの定理
  1.3.2 線型スケインによる写像類群の射影表現
  1.3.3 共形場理論に由来する写像類群の射影表現
  1.4 4 面体分割にもとづいた3 次元多様体の不変量の構成
  1.4.1 4 面体分割とパッハナー移動
  1.4.2 線型スケインによる6j 記号からえられる状態和不変量
  1.4.3 部分因子環による6j 記号からえられる状態和不変量
  1.5 3 次元多様体のLMO 不変量
  1.5.1 枠つき絡み目のコンセビッチ不変量
  1.5.2 LMO 不変量の定義
  1.5.3 有理ホモロジー球面の摂動的不変量
  1.5.4 摂動的不変量に対するLMO 不変量の普遍性
 1.6 数理物理的背景
  1.6.1 チャーン-サイモンズ理論
  1.6.2 WZW 模型による共形場理論
 1.7 体積予想
  1.7.1 結び目の体積予想
  1.7.2 3 次元多様体の体積予想
 1.8 理想4 面体分割にもとづいたカスプつき3 次元多様体の不変量
  1.8.1 3 次元多様体の被約ダイグラーフ-ウィッテン不変量
  1.8.2 カスプつき3 次元多様体の3D 指数
 1.9 発展中または未開拓の話題
  1.9.1 絡み目の多項式不変量の圏化
  1.9.2 3 次元多様体の被覆表示
 参考文献
2. 複素微分幾何(満渕俊樹)
 2.1 複素多様体と消滅定理
  2.1.1 複素多様体
  2.1.2 Kähler 計量
  2.1.3 正則直線束とそのChern 類
  2.1.4 小平-中野の消滅定理
  2.1.5 乗数イデアル層とNadel の消滅定理
 2.2 Kähler 幾何における運動量写像
  2.2.1 運動量写像とは
  2.2.2 運動量写像の構成法
  2.2.3 シンプレクティック商
  2.2.4 GIT と運動量写像
  2.2.5 運動量写像と凸性
  2.2.6 運動量写像とトーリック射影代数多様体
  2.2.7 Duistermaat-Heckman の定理
  2.2.8 運動量写像とhyperkähler 商
  2.2.9 運動量写像の応用[I]
  2.2.10 運動量写像の応用[II]
 2.3 特殊計量と多様体の安定性
  2.3.1 Calabi 予想と宮岡-Yau の不等式
  2.3.2 偏極代数多様体の漸近安定性
  2.3.3 漸近ベルグマン核と漸近Chow 安定性
  2.3.4 定スカラー曲率Kähler 計量と漸近Chow 安定性
  2.3.5 Donaldson によるK-安定性
  2.3.6 Tian によるK-安定性
  2.3.7 Yau-Tian-Donaldson 予想
  2.3.8 The Chow norm
  2.3.9 Donaldson のK-安定性のChow norm による定式化
  2.3.10 定スカラー曲率偏極代数多様体のK-安定性
  2.3.11 将来への展望
 参考文献
3. 指数定理とゲージ理論─接続とスピン\(^{c}\) 構造の幾何学─ (亀谷幸生)
 3.1 準備
  3.1.1 加群
  3.1.2 ベクトル空間
  3.1.3 Clifford 代数の表現
 3.2 層とベクトル束
  3.2.1 層
  3.2.2 ベクトル束の構造層
  3.2.3 接ベクトル束
 3.3 接続と曲率
  3.3.1 接続
  3.3.2 形式的随伴作用素
  3.3.3 平坦ベクトル束と正則ベクトル束
  3.3.4 主束と特性類
 3.4 スピン\(^{c}\) 構造とDirac 作用素
  3.4.1 Clifford 構造とスピン\(^{c}\) 構造
  3.4.2 Dirac 作用素
  3.4.3 関数解析からの準備
  3.4.4 Hilbert 多様体とHilbert ベクトル束
  3.4.5 位相的K 群
  3.4.6 多様体とベクトル束の族
  3.4.7 指数束
  3.4.8 Bott の周期性定理と指数定理
  3.4.9 Bott の周期性定理と指数定理の拡張
 3.5 モノポール方程式
  3.5.1 4 次元閉多様体の代数的トポロジー
  3.5.2 配置空間
  3.5.3 モノポール方程式
  3.5.4 Riemann 計量と摂動
  3.5.5 4 次元トポロジーへの応用
  3.5.6 理論における対称性
  3.5.7 Kähler 曲面における方程式の解法
 参考文献
索引

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